Figures de l'infini - Les mathématiques au miroir des cultures
de Tony Lévy

critiqué par Eric Eliès, le 14 octobre 2017
( - 50 ans)


La note: étoiles
Histoire des spéculations sur l'infini, au croisement des sciences, de la philosophie, de la métaphysique et de la théologie
Cet essai de Tony Lévy (mathématicien et historien des sciences) est passionnant. Il propose une approche historique des spéculations sur l'infini et sur l’assimilation progressive de ce concept, au carrefour de la philosophie, de la religion et de la pensée scientifique, qui confronte l’intelligence humaine à des paradoxes logiques qui révèlent ses limites et son incapacité fondamentale à transcender sa finitude ontologique. Au cours de cet essai remarquable, agréable à lire malgré la difficulté du sujet, émergent des figures connues (notamment Aristote, dont les idées ont eu une influence extraordinaire sur l'histoire de la pensée) ou peu connues. L'auteur esquisse aussi un parallèle pertinent entre le langage mathématique et la parole poétique (en citant Paul Celan) comme tentatives de saisir l'infini à travers les limites de la condition humaine.

L'essai s’ouvre naturellement avec une présentation des travaux de Cantor, mathématicien allemand dont l’œuvre mathématique, conçue à la fin du 19ème siècle, est une tentative de rendre l’infini « manipulable » par la théorie des ensembles. Cantor a notamment démontré qu’on peut déduire d’un ensemble infini (par exemple l’ensemble des entiers naturels) une infinité d’ensembles infinis et que le cardinal de l’ensemble des sous-ensembles infinis est supérieur à celui de l’ensemble infini initialement considéré. Cantor a donc construit une série d’ensembles infinis dits « aleph/indice n », où aleph/0 correspond à la série des entiers naturels. Son postulat est que aleph/1 correspond à l’infini des nombres réels (qu’on appelle aussi la puissance du continu). Mais sa théorie, qui a donné aux mathématiciens l’espoir de pouvoir transformer les mathématiques en un système cohérent où tout serait démontrable (cf les conjonctures d'Hilbert), achoppe sur le théorème d’incomplétude de Gödel et sur l’axiome du choix. Cet échec fut dramatique pour Cantor, qui n’était pas seulement un mathématicien. Tony Lévy présente Cantor comme le dernier mathématicien "total", à la fois philosophe et mystique, dont la pensée cherche à embrasser à la totalité du monde pour, au-delà des apparences sensibles, accéder à un ordre divin. Il s’inscrit dans une longue lignée de philosophes et de penseurs, dont il revendique la filiation et assume l’héritage, y compris dans ses dimensions métaphysiques et religieuses.

La suite de l’ouvrage brosse, avec talent et érudition, une fresque chronologique de l’histoire du concept d’infini, depuis les premières expériences de pensée des philosophes grecs jusqu’aux spéculations religieuses des traditions juives et arabes, dont on sous-estime souvent la vitalité. Il est difficile de résumer en quelques mots les interrogations, les doutes et les intuitions des philosophes antiques qui voyaient dans le nombre une idée parfaite régissant le monde ou considéraient qu’il n’avait aucune réalité en lui-même et ne servait qu’à mesurer une grandeur. Néanmoins, on peut résumer succinctement les trois écoles de pensée qui se sont affrontées en Grèce, parfois avec virulence :

1/ La pensée d’Aristote, qui porte sur le monde sensible, est très pragmatique. Après avoir défini l’infini comme ce qui ne peut se laisser traverser et après avoir énoncé les différentes grandeurs qui constituent le monde, Aristote démontre que l’infini ne peut pas exister en acte (c’est-à-dire être réalisé concrètement dans une grandeur du monde) car l’existence de l’infini serait source d'un paradoxe insoluble (pour les Grecs, il ne peut y avoir de partie supérieure ou égale au tout dont elle est issu or l’infini permet ce paradoxe). En conséquence, le monde est fini. En revanche, l’infini peut exister en puissance (c’est-à-dire en tant que concept) mais toujours en vue du « fini ». Par exemple, Aristote, comme d’autres philosophes grecs, considère qu’il est possible de diviser à l’infini une grandeur mais c’est un processus sans fin : quelle que soit l’étape à laquelle on parvient, la division aura toujours produit un nombre fini d’éléments. Aristote considère que l’infinité en puissance s’applique au temps. En fait, comme le monde est en mouvement et que tout mouvement est cause et conséquence d’un autre mouvement, il affirme qu’il ne peut y avoir eu de premier mouvement et que l’univers existe depuis un temps infini. Néanmoins, cet infini n’existe pas en acte car toutes les choses passées disparaissent et ne s’accumulent pas dans le temps présent.

2/ Pour les atomistes, (dont la théorie fut définie par Démocrite et vulgarisée par Lucrèce), l’univers ne peut pas être fini car quelle que soit la limite qu’on lui impose, il est toujours possible d’imaginer un moyen de la dépasser (c’est la célèbre image du lanceur de javelot lançant son arme au-delà de la limite du monde). En revanche, ils considèrent qu’il existe une limite à la division infinie des grandeurs et de la matière et supposent l’existence de grains de matière (les atomes) qui s’assemblent pour former les êtres et les éléments. Les atomistes croient au vide, dont l’existence est nécessaire pour permettre le mouvement des atomes. Par ailleurs, comme ils affirment que l’univers est infini, les atomistes considèrent que le nombre d’atomes est infini en acte et, d’une manière extraordinairement visionnaire, en déduisent la pluralité des mondes et que tout ce qui est possible d’être existe dans l’univers… (nota : on n’est pas très loin des spéculations les plus récentes sur le multi-univers !)

3/ La philosophie stoïcienne (fondée par Zénon et Crysippe) considère que l’univers matériel est fini mais que le vide qui l’entoure est infini (Aristote ne croyait pas au vide car, comme il croyait que le mouvement était limité par la résistance du milieu, il pensait que l’existence du vide provoquait un paradoxe en permettant la possibilité d'un mouvement instantané). Par ailleurs, contrairement à Aristote, les stoïciens pensent que le mouvement d’un objet n’est pas dû à l’action d’un corps (moteur) sur un autre mais est dû à la force interne qui l’anime. Cette notion est empruntée à la biologie : les stoïciens considèrent que les corps sont homogènes (contrairement aux atomistes, ils ne croient pas en l’existence du vide au sein du monde) et qu’ils sont faits de matière (principe passif) et de souffle vital (principe actif).

La pensée grecque a été vigoureusement contestée par la spéculation religieuse, dans le monde chrétien (l’auteur présentée longuement les travaux de Philon d’Alexandrie [1er siècle ap. JC], de Proclus le Diadoque [5ème siècle] et de Jean Philopon [6ème siècle]) et dans le monde musulman. Dans leur réfutation des conclusions d’Aristote sur l’éternité du monde, qui s’opposent à la croyance en un monde créé, les théologiens confondent, dans un même élan intellectuel, démonstration de l’impossibilité de l’infini, démonstration de la finitude du monde et confirmation par la raison que le monde est le fruit d’une création divine (Dieu considéré comme la « première cause » ou « cause sans cause »). Cette lecture critique des philosophes grecs n’a pas été stérile : elle a permis d’affiner les arguments conceptuels sur la nature de la matière et sur celle de l’infini, notamment l’opposition entre l’infini en acte et l’infini en puissance dans le judaïsme rabbinique et le monde arabo-musulman. En effet, après la fermeture des écoles philosophiques néo-platoniciennes dans le monde gréco-romain converti au christianisme, le centre de gravité de l’influence grecque se déplaça vers le monde arabe. Au 9ème siècle, Bagdad fut le lieu d’intenses et subtils débats opposant les théologiens (discourant sur la parole divine révélée dans le Coran) et les philosophes, parfois accusés d’infidélité. Sous le règne du calife abbasside Al-Ma’Mûn, marqué par une grande effervescence intellectuelle, les livres écrits par les traducteurs des philosophes grecs étaient payés à leur poids en or ! Les Arabes furent les premiers à tenter de mathématiser le concept d’infini, notamment par Al-Kindi (9ème siècle) qui utilisa les arguments d’Euclide pour saper la croyance en l’éternité du monde. Néanmoins, c’est Thâbit (qui traduisit en arabe les traités mathématiques d’Euclide, d’Archimède et d’Apollonius et fut sans doute influencé par la religion sabéenne qui intégrait des éléments néo-pythagoriciens), qui surmonta le premier le paradoxe de « la partie égale au tout » en montrant que deux infinis pouvaient être comparés entre eux.

Il apparaît clairement, tout au long de l'essai, que le moyen-âge fut, contrairement à une idée reçue, une époque intellectuellement brillante où des penseurs, notamment juifs et musulmans (en parallèle de la scolastique médiévale) tentèrent la synthèse de la religion et de la science (en tant que recherche objective de la vérité) et firent évoluer le concept d’infini. Emergent notamment les figures de Al-Fârâbî (11ème), Maïmonide (12ème), Averroès (12ème) et Avicenne (11ème). Ce dernier, issu du monde perse au croisement d’influences multiples, osa critiqué l’école péripatéticienne de Bagdad ; possédant une culture encyclopédique, il a profondément influencé le développement des sciences (traité médical, etc.) et toutes les écoles philosophiques. En conférant à l’imagination la capacité de manipuler des objets, il opère une distinction entre les grandeurs spatiales et temporelles et admet la possibilité d’infini en acte pour des objets de pensée non soumis aux grandeurs physiques, y compris les anges et les âmes (il considérait que l’âme était créée avec le corps mais lui survivait en conservant son individualité ; cette conception n’était pas acceptée par les philosophes et les théologiens).

La chrétienté, qui découvrit les écrits d’Aristote à partir des traductions arabes, assimile ses conclusions en développant un courant philosophique qui cherche à concilier, au sein de la foi chrétienne, le dogme avec la raison. Cette pensée, qui se nourrit des pères fondateurs (Saint Augustin et Saint Jean de Damas) culmine avec Duns Scot et Saint Thomas d’Aquin, dont les travaux feront l’objet d’une brève interdiction de diffusion à la fin du 13ème siècle. Alors que l’infini avait été jusqu’alors défini négativement par l’absence de limites et était synonyme d’imperfection (pour cette raison, Saint Augustin déclare que ce qui est infini pour l’homme est fini pour Dieu), la scolastique érige l’infini en un mode possible de l’être de perfection infinie. En s’appuyant sur la distinction d’Aristote entre forme et matière, le thomisme définit Dieu comme une forme pure, non soumise aux limitations de la matière, dont l’illimitation est synonyme de perfection pure et dont l’existence s’identifie à son essence. Cette représente conduit à des allégories spatiales de Dieu, comme la célèbre définition « Dieu est un cercle dont le centre est partout et la circonférence nulle part ». Cette conception de l’infini a généré, aux 13ème et 14ème siècles, de grandes audaces intellectuelles qui annoncent les théories modernes sur le tout et les parties, notamment chez Thomas Bradwardine (qui imagine le monde enveloppé d’un vide infini incréé identifié à l’immensité divine), Jean de Ripa (qui imagine des degrés de perfection calquée sur l’échelle des nombres et donc un infini dans le réel enveloppé par l’infini divin qui le dépasse), Robert Grossetête (qui considère que le continu se compose d’une infinité d’indivisible et admet des infinis relatifs, plus grands que d’autres) et Grégoire de Rimini (pour cet ermite augustinien, Dieu accomplit tout ce qui n’est pas impossible ; définissant l’infini comme tout ce qui dépasse le fini au-delà de toute proportion déterminée, il pose les bases logiques permettant de comparer des ensembles finis et infinis ainsi que des infinis entre eux, sous réserve qu’ils soient composés d’éléments de même nature).

Néanmoins, c’est à la mystique juive (telle qu’elle s’est développée en Espagne et en Provence) que Tony Lévy consacre son plus long développement, car les écrits kabbalistes ont fortement interrogé les concepts de néant et d’infini en se défiant des concepts aristotéliciens. En effet, les autorités spirituelles juives d’Espagne (en Andalousie et en Catalogne) souhaitaient limiter l’influence des arguments philosophiques d’Aristote (y compris leur interprétation par Maïmonide) qui contestaient la tradition religieuse. La principale dispute portait sur la lecture allégorique, pratiquée par les philosophes, des textes religieux et des paraboles. Le Ma’asé Bereshit (portant sur la genèse) et le Ma’asé Markava (portant sur la figure divine telle qu’elle apparut à Ezechiel) ont donné lieu à de nombreux commentaires affirmant l’existence d’une pluralité de mondes entourés de cercles concentriques de feu et d’eau et du tohubohu (ténèbres sans fin et sans fond) et d’un Dieu anthropomorphe (omniprésent puisque décrit comme le lieu du monde mais le dépassant), dont les mesures sont décrites dans le Shi’ur Qoma, livre dont l’authenticité fut contestée par tous ceux (dont Maïmonide) qui assimilaient cet anthropomorphisme à de l’idolâtrie. Néanmoins, le thème du corps divin (décrivant le rapport entre l’infinitude divine et la finitude humaine) est repris par le Sefer Yesira, ouvrage d’une grande densité (à peine 5000 mots env.) et d’une extrême importance, qui a influencé toute la pensée médiévale (il a été traduit et commenté dans le monde musulman et chrétien) et dévoile la création du monde par les 10 nombres fondamentaux (les sefirot), qui constituent les 4 puissances élémentaires (le souffle divin, l’air, le feu, l’eau – qui semblent émaner les unes des autres) et les 6 directions de l’espace, et les 22 lettres de l’alphabet hébraïque, qui s’ordonnent pour former les 3 niveaux du cosmos (le monde, le temps et l’homme). Dans le Bahir (le Livre de la clarté), les sefirot deviennent des attributs divins, révélant l’affrontement de deux tendances dans la tradition kabbaliste : celle de la lecture des symboles et celle de la spéculation philosophique, qui fut souvent suspectée d’hérésie. Les textes des kabbalistes sont difficiles d’accès, car systématiquement hermétiques aux non-initiés. Un centre actif de la kabbale contemplative fut Gérone (en Catalogne), om vécurent notamment Isaac l’Aveugle et Moïse ben Nahman qui distinguent trois degrés de la divinité : la parole, la pensée et l’En Sof (le sans-fin), qui marque l’impossibilité absolue d’accéder à une connaissance de l’essence divine. Les séfirot émanent de l’En Sof, dont ils sont des principes de limitation par l’essence et par le lieu, en fonction des rapports entre le vide (qui est créateur dans la tradition juive), la forme et la matière. Tony Lévy présente longuement les travaux spéculatifs de Hasdai Crescas, rabbin catalan qui tenta une synthèse de toutes les tendances pour réfuter, par la logique, les arguments d’Aristote et certains développements de Maïmonide. Crescas fut sans doute motivé par les féroces persécutions antijuives qui frappèrent la communauté en 1391 (les juifs étaient contraints de se convertir ou tués quand ils ne trouvaient pas refuge chez des notables capables de les protéger de la fureur populaire), qu’il attribua partiellement à la déliquescence spirituelle des juifs affaiblis par la diffusion des idées issues de la philosophie profane. Tout en étant profondément imprégné des textes religieux, Crescas fait preuve d’une rigueur qui met en évidence les failles et les faiblesses de la logique d’Aristote et de ses commentateurs, juifs et arabes. Tout d’abord, il démontre que la preuve de l’impossibilité d’un infini en acte (fondée sur le paradoxe qu’un infini puisse être plus grand qu’un autre) n’est pas convaincante car elle repose sur des déterminations de la mesure qui ne s’appliquent pas à l’infini. Crescas, en reprenant la conception talmudique du vide, démontre ensuite que le vide existe (contrairement à la croyance d’Aristote), qu’il est une grandeur et qu’il est infini. En fait, le vide décrit par Crescas s’apparente à l’espace abstrait qu’occupe un corps ; en ce sens, le vide est omniprésent et constitue le lieu du corps comme Dieu est le lieu du monde. Crescas établit aussi une distinction entre le nombrable et le nombré, entre l’infini « par essence » et l’infini « par succession » pour montrer que la thèse aristotélicienne ne permet pas de conclure à l’impossibilité d’un infini en acte et que l’existence de Dieu ne saurait non plus être déduite de la finitude d’une chaîne causale dont Dieu serait le premier terme. L’existence de Dieu est compatible de l’existence d’une infinité d’effets et de causes et le savoir divin embrasse la totalité des possibles (passés, présents ou à venir), qui constituent des infinis en acte. Crescas admet d’ailleurs une pluralité de mondes possibles (notamment pour saper la démonstration de l’unicité divine par l’unicité du monde).

L’étude de Tony Lévy s’arrête avec la présentation des travaux spéculatifs de Crescas. En effet, depuis le 15ème siècle, les approches philosophiques, mathématiques et théologiques ont divergé et ne dialoguent plus. Cette rupture, qui a libéré la pensée et permis l’essor de la science moderne, s’est réalisée progressivement via Descartes (pour qui l’entendement fini reconnaît l’infini mais ne connaît que l’indéfini), via Spinoza (pour qui l’esprit peut accéder à l’infini, par les idées qu’il forme absolument, mais imagine des concepts de mesure pour expliquer et décrire le monde, qu’il ne peut connaitre absolument – ainsi, pour Spinoza, les grandeurs, y compris le temps, n’ont pas d’existence et ne sont que des modes de penser) et via Leibniz (pour qui l’infini existe en acte dans le monde et est accessible à la pensée mathématique mais non sous forme d’un Tout). Cantor, par la critique de leurs travaux, a tenté de ressusciter cette approche syncrétique mais il a échoué ; les mathématiciens modernes sont des praticiens qui se méfient des implications métaphysiques et philosophiques de leurs travaux (sur le continu, le discret, l’infini, etc.). Gödel et Cohen ont respectivement considéré que l’hypothèse du continu formulée par Cantor était indécidable ou erronée. Le langage mathématique ne parvient pas à formuler des définitions de l’infini continu, qui est un infini non dénombrable. Pour Desanti, l’infini appartient aux lieux d’indécision sémantique qui ne se laissent pas saisir dans le discours. Ainsi, les mathématiques font écho au langage poétique qui cherche à dire l’infini de notre finitude (cf Paul Celan).